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点P是不等式|y|≤所表示的平面区域内的一动点,该点在区域边界所在直线上的投影分别为M,N.若, (1)求动点P的轨迹方程; (2)已知点C(1,0),F(2,0),过点F作直线l交P点轨迹于A,B两点,是否存在这样的直线l,使AC⊥BC,若存在,
点P是不等式|y|≤所表示的平面区域内的一动点,该点在区域边界所在直线上的投影分别为M,N.若, (1)求动点P的轨迹方程; (2)已知点C(1,0),F(2,0),过点F作直线l交P点轨迹于A,B两点,是否存在这样的直线l,使AC⊥BC,若存在,
admin
2015-11-17
28
问题
点P是不等式|y|≤
所表示的平面区域内的一动点,该点在区域边界所在直线上的投影分别为M,N.若
,
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)已知点C(1,0),F(2,0),过点F作直线l交P点轨迹于A,B两点,是否存在这样的直线l,使AC⊥BC,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
选项
答案
(1)依题意知|y|≤[*]表示的区域边界所在的直线分别为l
1
:y=[*](x≥0)和 [*] 因此动点P的轨迹方程是以(2,0),(一2,0)为焦点的双曲线的右支:x
2
-[*]=1(x≥1). (2)当直线l斜率不存在时,直线l:x=2, 所以A(2,3),B(2,-3),显然[*]≠0. 当直线l斜率存在时,设直线l:y=k(x-2),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
), 联立l与P点轨迹方程[*],消去y得:(3一k
2
)x
2
+4k
2
x一(3+4k
2
)=0. △=(4k
2
)
2
+4(3+4k
2
)(3一k
2
)=36k
2
+36>0, 所以x
1
+x
2
=[*]②. 要使△ABC为直角三角形,则必有[*]=0, 即(x
1
一1)(x
2
—1)+y
1
y
2
=0, 所以x
1
x
2
一(x
1
+x
2
)+1+k
2
(x
1
一2)(x
2
—2)=0, 整理得(1+k
2
)x
1
x
2
一(1+2k
2
)(x
1
+x
2
)+4k
2
+1=0, 将①②代入上式, 解得k=0. 当k=0时,直线l与x轴重合,与P点的轨迹只有一个交点. 所以不存在这样的直线,使得AC⊥BC.
解析
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