微分方程y″＋4y＝2x2在原点处与y＝x相切的特解是__________．

admin2016-01-25 51

问题微分方程y″＋4y＝2x²在原点处与y＝x相切的特解是__________．

选项

答案[*]

解析先求出特征根，再设出特解形式，代入原方程求之．
原方程所对应齐次方程的特征方程为
r²＋4＝0，解得 r_1．2＝±2i．
故齐次方程通解为
Y＝c₁cos2x＋c₂sin2x
设y^*＝ax²＋bx＋c是原方程的一个特解，代入原方程，比较两边系数可得

故原方程的通解为
y＝Y＋y^*＝c₁cos2x＋c₂sin2x＋

由初始条件y｜_x＝0＝0， y′｜_x＝0＝1，可得

于是，所求的特解为

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