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  3. 设四元齐次线性方程组(1)为 另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2，－1，a+2，1)T，α2=(－1，2，4，a+8)T。 当a为何值时，方程组(1)与方程组(2)有非零公共解，

设四元齐次线性方程组(1)为 另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2，－1，a+2，1)T，α2=(－1，2，4，a+8)T。 当a为何值时，方程组(1)与方程组(2)有非零公共解，

admin2019-01-26  26
问题 设四元齐次线性方程组(1)为
           
    另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
           α1=(2，－1，a+2，1)T，α2=(－1，2，4，a+8)T。
当a为何值时，方程组(1)与方程组(2)有非零公共解，并求出所有非零公共解。
选项
答案设η是方程组(1)与方程组(2)的非零公共解，则 η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2， 其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。 由k1β1+k2β2－l1α1－l2α2=0，得齐次线性方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，则有 [*] 当a≠－1时，方程组(3)的系数矩阵为[*]则方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，则η=0，不合题意。 当a=－1时，方程组(3)的系数矩阵为[*]解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2，于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。因此当a=－1时，方程组(1)与方程组(2)有非零公共解，且公共解为 l1(2，－1，1，1)T+l2(－1，2，4，7)T， 其中l1，l2为任意常数，且l1，l2不同时为0。
解析
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考研数学二

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