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设四元齐次线性方程组(1)为 另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T。 当a为何值时,方程组(1)与方程组(2)有非零公共解,
设四元齐次线性方程组(1)为 另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T。 当a为何值时,方程组(1)与方程组(2)有非零公共解,
admin
2019-01-26
18
问题
设四元齐次线性方程组(1)为
另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
α
1
=(2,-1,a+2,1)
T
,α
2
=(-1,2,4,a+8)
T
。
当a为何值时,方程组(1)与方程组(2)有非零公共解,并求出所有非零公共解。
选项
答案
设η是方程组(1)与方程组(2)的非零公共解,则 η=k
1
β
1
+k
2
β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
, 其中k
1
,k
2
与l
1
,l
2
均是不全为0的常数。 由k
1
β
1
+k
2
β
2
-l
1
α
1
-l
2
α
2
=0,得齐次线性方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换,则有 [*] 当a≠-1时,方程组(3)的系数矩阵为[*]则方程组(3)只有零解,即k
1
=k
2
=l
1
=l
2
=0,则η=0,不合题意。 当a=-1时,方程组(3)的系数矩阵为[*]解得k
1
=l
1
+4l
2
,k
2
=l
1
+7l
2
,于是η=(l
1
+4l
2
)β
1
+(l
1
+7l
2
)β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
。因此当a=-1时,方程组(1)与方程组(2)有非零公共解,且公共解为 l
1
(2,-1,1,1)
T
+l
2
(-1,2,4,7)
T
, 其中l
1
,l
2
为任意常数,且l
1
,l
2
不同时为0。
解析
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0
考研数学二
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