设四元齐次线性方程组(1)为 另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T。 当a为何值时,方程组(1)与方程组(2)有非零公共解,

admin2019-01-26  18

问题 设四元齐次线性方程组(1)为
           
    另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
           α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T
当a为何值时,方程组(1)与方程组(2)有非零公共解,并求出所有非零公共解。

选项

答案设η是方程组(1)与方程组(2)的非零公共解,则 η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2, 其中k1,k2与l1,l2均是不全为0的常数。 由k1β1+k2β2-l1α1-l2α2=0,得齐次线性方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换,则有 [*] 当a≠-1时,方程组(3)的系数矩阵为[*]则方程组(3)只有零解,即k1=k2=l1=l2=0,则η=0,不合题意。 当a=-1时,方程组(3)的系数矩阵为[*]解得k1=l1+4l2,k2=l1+7l2,于是η=(l1+4l21+(l1+7l22=l1α1+l2α2。因此当a=-1时,方程组(1)与方程组(2)有非零公共解,且公共解为 l1(2,-1,1,1)T+l2(-1,2,4,7)T, 其中l1,l2为任意常数,且l1,l2不同时为0。

解析
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