已知三元二次型 xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩为2，则其规范形为________．

admin2015-04-30 33

问题已知三元二次型
x^TAx=x₁²+ax₂²+x₃²+2x₁x₂+2ax₁x₃+2x₂x₃的秩为2，则其规范形为________．

选项

答案y₁²一y₃²．

解析二次型矩阵A=

因为｜A｜=(a+2)(a—1)²，由秩r(A)=2，易见a=一2．由

可知矩阵A的特征值为3，—3，0．从而正交变换下二次型标准形为3y₁²一3y₃²，故其规范形为y₁²一y₁²．

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