求当x＞0，y＞0，z＞0时，函数f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz在球面x2+y2+z2=6r2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤108()6成立．

admin2017-07-26 57

问题求当x＞0，y＞0，z＞0时，函数f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz在球面x²+y²+z²=6r²上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab²c³≤108(

)⁶成立．

选项

答案为求在条件x²+y²+z²=6r²下函数f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz的最大值，不妨设 L(x，y，z，λ)=lnx+2lny+3lnz+λ(x²+y²+z²一6r²)(x＞0，y＞0，z＞0)．由方程组[*] 因为驻点(x，y，z)在球面x²+y²+z²=6r²的第一卦限部分上，则点(r，[*])是唯一的驻点．另一方面，当点趋于球面(第一卦限部分)与坐标平面的交线时，函数f(x，y，z)便趋于一∞．所以，函数f(x，y，z)在指定的区域内部取得最大值，从而此唯一的驻点便是最大值点，即 [*]

解析本题第一部分是求条件极值，利用拉格朗日乘子法解答．
本题第二部分是利用第一部分得到的结果来证明不等式．

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考研数学三

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求当x＞0，y＞0，z＞0时，函数f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz在球面x2+y2+z2=6r2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤108()6成立．

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