设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0x f(t)f’(2a—t)dt。证明： F(ga)-2F(A)=f2(A)-f(0)f(2a)．

admin2015-07-22 84

问题设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫₀^x f(t)f’(2a—t)dt。证明：
F(ga)-2F(A)=f²(A)-f(0)f(2a)．

选项

答案F(2a)一2F(a)一∫₀^2af(t)f’(2a一t)dt一2∫₀^af(t)f’(2a—t)dt =∫₀^2af(t)f’(2a—t)dt—∫₀^af(t)f’(2a—t)dt，其中∫₀^2af(t)f’(2a—t)dt=f²(a)一f(0)f(2a)+∫_a^2af(2a—t)f’(t)dt，所以原式=f²(a)一f(0)f(2a)+∫_a^2a f(2a—t)f’(t)dt—∫₀^af(t)f’(2a—t)dt，又∫_a^2af(2a一t)f’(t)dt[*]∫₀^af(u)f’(2a一u)du一∫₀^af(t)f’(2a一t)dt，所以， F(2a)一2F(a)一f²(a)一f(0)f(2a)．

解析

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