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设函数f(x)有连续导数,F(x)=∫0x f(t)f’(2a—t)dt。证明: F(ga)-2F(A)=f2(A)-f(0)f(2a).
设函数f(x)有连续导数,F(x)=∫0x f(t)f’(2a—t)dt。证明: F(ga)-2F(A)=f2(A)-f(0)f(2a).
admin
2015-07-22
100
问题
设函数f(x)有连续导数,F(x)=∫
0
x
f(t)f’(2a—t)dt。证明:
F(ga)-2F(A)=f
2
(A)-f(0)f(2a).
选项
答案
F(2a)一2F(a)一∫
0
2a
f(t)f’(2a一t)dt一2∫
0
a
f(t)f’(2a—t)dt =∫
0
2a
f(t)f’(2a—t)dt—∫
0
a
f(t)f’(2a—t)dt, 其中∫
0
2a
f(t)f’(2a—t)dt=f
2
(a)一f(0)f(2a)+∫
a
2a
f(2a—t)f’(t)dt,所以 原式=f
2
(a)一f(0)f(2a)+∫
a
2a
f(2a—t)f’(t)dt—∫
0
a
f(t)f’(2a—t)dt, 又∫
a
2a
f(2a一t)f’(t)dt[*]∫
0
a
f(u)f’(2a一u)du一∫
0
a
f(t)f’(2a一t)dt,所以, F(2a)一2F(a)一f
2
(a)一f(0)f(2a).
解析
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0
考研数学三
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