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设f(t)连续,区域D={χ,y)||χ|≤1,|y|≤1},求证: f(χ-y)dχdy=∫-22f(t)(2-|t|)dt.
设f(t)连续,区域D={χ,y)||χ|≤1,|y|≤1},求证: f(χ-y)dχdy=∫-22f(t)(2-|t|)dt.
admin
2017-11-21
84
问题
设f(t)连续,区域D={χ,y)||χ|≤1,|y|≤1},求证:
f(χ-y)dχdy=∫
-2
2
f(t)(2-|t|)dt.
选项
答案
先将二重积分I=[*]f(χ-y)dχdy化为累次积分 I=∫
-1
1
dχ∫
-1
1
f(χ-y)dy. 令χ-y=t,则 I=-∫
-1
1
dχ∫
χ+1
χ-1
f(t)dt=∫
-1
1
dχ∫
χ-1
χ+1
f(t)dt. 进一步化为定积分. 将I表示为 I=[*]f(t)dχdt, 其中D
χt
-1≤t≤χ+1,-1≤χ≤1,如图所示. [*] 现交换积分次序(改为先对χ后对t积分),分块积分得 I=∫
-2
0
dt∫
-1
t+1
f(t)dχ+∫
0
2
dt∫
t-1
1
f(t)dχ =∫
-2
0
f(t)(t+2)dt+∫
0
2
f(t)(2-t)dt=∫
-2
2
f(t)(2-|t|)dt.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t4bD777K
0
考研数学二
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