设f(t)连续，区域D＝{χ，y)｜｜χ｜≤1，｜y｜≤1}，求证： f(χ－y)dχdy＝∫-22f(t)(2－｜t｜)dt．

admin2017-11-21 59

问题设f(t)连续，区域D＝{χ，y)｜｜χ｜≤1，｜y｜≤1}，求证：

f(χ－y)dχdy＝∫_-2²f(t)(2－｜t｜)dt．

选项

答案先将二重积分I＝[*]f(χ－y)dχdy化为累次积分 I＝∫_－1¹dχ∫_-1¹f(χ－y)dy．令χ－y＝t，则 I＝－∫_－1¹dχ∫_χ＋1^χ－1f(t)dt＝∫_－1¹dχ∫_χ－1^χ＋1f(t)dt．进一步化为定积分．将I表示为 I＝[*]f(t)dχdt，其中D_χt－1≤t≤χ＋1，－1≤χ≤1，如图所示． [*] 现交换积分次序(改为先对χ后对t积分)，分块积分得 I＝∫_-2⁰dt∫_-1^t+1f(t)dχ＋∫₀²dt∫_t-1¹f(t)dχ ＝∫_-2⁰f(t)(t＋2)dt＋∫₀²f(t)(2－t)dt＝∫_-2²f(t)(2－｜t｜)dt．

解析

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