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设α1,α2,α3,α4,β为四维列向量, A=[α1,α2,α3,α4], 已知Ax=β的通解为 X=[1,一1,2,1]T+k1[1,2,0,1]T+k2[一1,1,1,0]T, ① 其中[1,2,0,1]T,[一
设α1,α2,α3,α4,β为四维列向量, A=[α1,α2,α3,α4], 已知Ax=β的通解为 X=[1,一1,2,1]T+k1[1,2,0,1]T+k2[一1,1,1,0]T, ① 其中[1,2,0,1]T,[一
admin
2015-12-22
79
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β为四维列向量,
A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],
已知Ax=β的通解为
X=[1,一1,2,1]
T
+k
1
[1,2,0,1]
T
+k
2
[一1,1,1,0]
T
, ①
其中[1,2,0,1]
T
,[一1,1,1,0]
T
为对应齐次方程组的基础解系,k
1
,k
2
为任意常数.令B=[α
1
,α
2
,α
3
],试求BY=β的通解.
选项
答案
为求BY=β的特解,只需找出β用B的列向量α
1
,α
2
,α
3
的线性表示式;为求BY=0的基础解系,只需找出B的列向量之间等于0的线性组合表示式. 如何求得向量之间的这些线性表示式? 现有的条件[1,一1,2,1]
T
为Ax=β的一特解,这就告诉我们β可用A的一个列向量组线性表示.又已知Ax=0的两个解[1,2,0,1]
T
,[一1,1,1,0]
T
,这就告诉我们A的列向量之间的两个等于0的线性组合.有了这些条件,刚才提出的问题就可以解决. 解 由式①知,[1,2,0,1]
T
,[一1,1,1,0]
T
为Ax=0的基础解系,[1,一1,2,1]
T
为Ax=β的一特解,故 n一秩(A)=4一秩(A)=2, 即 秩(A)=2, 且有 β=α
1
一α
2
+2α
3
+α
4
, α
1
+2α
2
+Oα
3
+α
4
=0, 一α
1
+α
2
+α
3
+0α
4
=0. 于是有 α
3
=α
1
一α
2
,α
4
=一α
1
一2α
2
. 因秩(A)=秩(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=2,故α
1
,α
2
线性无关,从而秩(B)=秩(α
1
,α
2
,α
3
)=2.由 β=2α
1
—5α
2
+0α
3
. 易知[2,一5,0]
T
为BY=β的特解.又n=3,n一秩(B)=3—2=1,故BY=β的基础解系只含一个解向量. 由α
1
一α
2
一α
3
=0知,[1,一1,一1]
T
为BY=0的非零解,可作为基础解系,故BY=β的通解为 y=[2,5,0]
T
+k[1,一1,一1]
T
,其中k为任意常数.
解析
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考研数学二
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