已知正方体ABCD—A1B1C1D1,E是棱DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?并证明你的结论.

admin2019-01-23  25

问题 已知正方体ABCD—A1B1C1D1,E是棱DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?并证明你的结论.

选项

答案在棱C1D1上存在一点F,使B1F∥平面A1BE.如下图,以A点为坐标原点建立空间直角坐标系, [*] 设正方体的棱长为2a,则A1(0,0,2a), B1(2a,0,2a),B(2a,0,0),E(0,2a,a),则[*] 设平面A1BE的法向量n(x,y,z),则 [*] 当z=1时,x=1,[*],法向量[*] 假设在棱C1D1上存在点F(t,2a,2a)(0≤t≤2a)使B1F∥平面A1BE, 则[*] 即(t一2a)+2a×[*]+0=0,解得t=a. F点的坐标为(a,2a,2a),为C1D1中点. 故在棱C1D1上存在一点F,使B1F∥平面A1BE.

解析
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