已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE?并证明你的结论．

admin2019-01-23 59

问题已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，E是棱DD₁的中点．在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE?并证明你的结论．

选项

答案在棱C₁D₁上存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE．如下图，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系， [*] 设正方体的棱长为2a，则A₁(0，0，2a)， B₁(2a，0，2a)，B(2a，0，0)，E(0，2a，a)，则[*] 设平面A₁BE的法向量n(x，y，z)，则 [*] 当z=1时，x=1，[*]，法向量[*] 假设在棱C₁D₁上存在点F(t，2a，2a)(0≤t≤2a)使B₁F∥平面A₁BE，则[*] 即(t一2a)+2a×[*]+0=0，解得t=a． F点的坐标为(a，2a，2a)，为C₁D₁中点．故在棱C₁D₁上存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE．

解析

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