证明方程xe2x－2x－cosx＋x2／2＝0有且仅有两个根．

admin2016-01-25 57

问题证明方程xe^2x－2x－cosx＋x²／2＝0有且仅有两个根．

选项

答案令f(x)＝xe^2x一2x—cosx＋x²／2，则f(x)为连续函数，且 f(一1)＝－e^－2＋2一cos1＋1／2 ＝1－e^－2＋1一cos1＋1／2＞0， f(0)＝一1＜0， f(1)＝e²一2一cos1＋1／2＞0．根据零点定理知，f(x)＝0在(一1，1)内有两个实根．下证f(x)＝0在(一1，1)内不可能有三个根．事实上，如果f(x)在(一1，1)内有三个实根，不妨设为x₁，x₂，x₃，则 f(x₁)＝f(x₂)＝f(x₃)＝0．由于f(x)二阶可导，故存在ξ∈(x₁，x₃)使f″(ξ)＝0，但这是不可能的．这是因为 f′(x)＝e^2x(1＋2x)一2＋sinx＋x， f″(x)＝4e^2x(1＋x)＋cosx＋1＞0， x∈(一1，1)．此外当x＜一1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，而f(一1)＜0，f(1)＞0，故函数f(x)在区间(一∞，一1)内单调减少且f(x)＜0；在(1，＋∞)内f(x)单调增加，且f(x)＞0，故在(一∞，一1)内及在(1，＋∞)内f(x)不可能有根，因而f(x)＝0仅有两根．

解析为证题设方程有两个根，需在两个区间利用零点定理，为此要找出三点，函数f(x)＝xe^2x一2x—cosx＋x²／2在此三点相继反号．为证f(x)＝0仅有两根，还要利用f(x)的单调性．

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考研数学三

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