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证明方程xe2x-2x-cosx+x2/2=0有且仅有两个根.
证明方程xe2x-2x-cosx+x2/2=0有且仅有两个根.
admin
2016-01-25
57
问题
证明方程xe
2x
-2x-cosx+x
2
/2=0有且仅有两个根.
选项
答案
令f(x)=xe
2x
一2x—cosx+x
2
/2,则f(x)为连续函数,且 f(一1)=-e
-2
+2一cos1+1/2 =1-e
-2
+1一cos1+1/2>0, f(0)=一1<0, f(1)=e
2
一2一cos1+1/2>0. 根据零点定理知,f(x)=0在(一1,1)内有两个实根. 下证f(x)=0在(一1,1)内不可能有三个根.事实上,如果f(x)在(一1,1)内有三个实根,不妨设为x
1
,x
2
,x
3
,则 f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
)=0. 由于f(x)二阶可导,故存在ξ∈(x
1
,x
3
)使f″(ξ)=0,但这是不可能的.这是因为 f′(x)=e
2x
(1+2x)一2+sinx+x, f″(x)=4e
2x
(1+x)+cosx+1>0, x∈(一1,1). 此外当x<一1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,而f(一1)<0,f(1)>0,故函数f(x)在区间(一∞,一1)内单调减少且f(x)<0;在(1,+∞)内f(x)单调增加,且f(x)>0,故在(一∞,一1)内及在(1,+∞)内f(x)不可能有根,因而f(x)=0仅有两根.
解析
为证题设方程有两个根,需在两个区间利用零点定理,为此要找出三点,函数f(x)=xe
2x
一2x—cosx+x
2
/2在此三点相继反号.为证f(x)=0仅有两根,还要利用f(x)的单调性.
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考研数学三
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