已知f(π)=1，且∫0π[f(x)+f"(x)]sinxdx=3，求f(0)。

admin2015-06-14 39

问题已知f(π)=1，且∫₀^π[f(x)+f"(x)]sinxdx=3，求f(0)。

选项

答案因为∫₀^π[f(x)+f(x)]sinxdx=∫₀^πf(x)sinxdx+∫₀^πf"(x)sinxdx，而∫₀^πf"(x)sinxdx=∫₀^πsinxdf’(x) =sinx.f’(x)|₀^π-∫₀^πf’(x)cosxdx =-∫₀^πcosxdf(x) =-f(x)cosx|₀^π-∫₀^πf(x)sinxdx =f(π)+f(0)-∫₀^πf(x)sinxdx，所以∫₀^π[f(x)+f"(x)]sinxdx=f(π)+f(0)=3。又f(π)=1，所以f(0)=2。

解析由于∫₀^π[f(x)+f"(x)]sinxdx=∫₀^πf(x)sinxdx+∫₀^πf"(x)sinxdx，对∫₀^πf"(x)sinxdx采用凑微分和分部积分后与∫₀^πf(x)sinxdx相加，代入条件即可求出f(0)。

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