2. 专升本
  3. 已知f(π)=1，且∫0π[f(x)+f"(x)]sinxdx=3，求f(0)。

已知f(π)=1，且∫0π[f(x)+f"(x)]sinxdx=3，求f(0)。

admin2015-06-14  44
问题 已知f(π)=1，且∫0π[f(x)+f"(x)]sinxdx=3，求f(0)。
选项
答案因为∫0π[f(x)+f(x)]sinxdx=∫0πf(x)sinxdx+∫0πf"(x)sinxdx，而∫0πf"(x)sinxdx=∫0πsinxdf’(x) =sinx.f’(x)|0π-∫0πf’(x)cosxdx =-∫0πcosxdf(x) =-f(x)cosx|0π-∫0πf(x)sinxdx =f(π)+f(0)-∫0πf(x)sinxdx， 所以∫0π[f(x)+f"(x)]sinxdx=f(π)+f(0)=3。 又f(π)=1，所以f(0)=2。
解析 由于∫0π[f(x)+f"(x)]sinxdx=∫0πf(x)sinxdx+∫0πf"(x)sinxdx，对∫0πf"(x)sinxdx采用凑微分和分部积分后与∫0πf(x)sinxdx相加，代入条件即可求出f(0)。
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