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已知f(π)=1,且∫0π[f(x)+f"(x)]sinxdx=3,求f(0)。
已知f(π)=1,且∫0π[f(x)+f"(x)]sinxdx=3,求f(0)。
admin
2015-06-14
86
问题
已知f(π)=1,且∫
0
π
[f(x)+f"(x)]sinxdx=3,求f(0)。
选项
答案
因为∫
0
π
[f(x)+f(x)]sinxdx=∫
0
π
f(x)sinxdx+∫
0
π
f"(x)sinxdx,而∫
0
π
f"(x)sinxdx=∫
0
π
sinxdf’(x) =sinx.f’(x)|
0
π
-∫
0
π
f’(x)cosxdx =-∫
0
π
cosxdf(x) =-f(x)cosx|
0
π
-∫
0
π
f(x)sinxdx =f(π)+f(0)-∫
0
π
f(x)sinxdx, 所以∫
0
π
[f(x)+f"(x)]sinxdx=f(π)+f(0)=3。 又f(π)=1,所以f(0)=2。
解析
由于∫
0
π
[f(x)+f"(x)]sinxdx=∫
0
π
f(x)sinxdx+∫
0
π
f"(x)sinxdx,对∫
0
π
f"(x)sinxdx采用凑微分和分部积分后与∫
0
π
f(x)sinxdx相加,代入条件即可求出f(0)。
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0
高等数学一
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