已知f(π)=1，且∫0π[f(x)+fˊˊ(x)]sinxdx=3，求f(0)．

admin2016-10-01 19

问题已知f(π)=1，且∫₀^π[f(x)+fˊˊ(x)]sinxdx=3，求f(0)．

选项

答案由于∫₀^π[f(x)+fˊˊ(x)]sinxdx=∫₀^πf(x)sinxdx+∫₀^πfˊˊ(x)sinxdx，对∫₀^πfˊˊ(x)sinxdx采用凑微分和分部积分后与∫₀^πf(x)sinxdx相加，代入条件即可求出f(0)．因为∫₀^π[f(x)+fˊˊ(x)]sinxdx=∫₀^πf(x)sinxdx+∫₀^πfˊˊ(x)sinxdx，而∫₀^πfˊˊ(x)sinxdx=∫₀^πsinxdfˊ(x)=sinx.fˊ(x)｜₀^π－∫₀^πfˊ(x)cosxdx =－∫₀^πcosxdf(x) =－f(x)cosx｜₀^π－∫₀^πf(x)sinxdx =f(π)+f(0)－∫₀^πf(x)sinxdx 所以∫₀^π[f(x)+fˊˊ(x)]sinxdx=f(π)+f(0)=3．又 f(π)=1，所以f(0)=2．

解析

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