设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 若α,β正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

admin2022-11-28  29

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记

若α,β正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22

选项

答案∵Aα=(2ααT+ββT)α=2α丨α丨2+ββTα=2α,  ∴α为A的对应于λ1=2的特征向量,  又Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααT·β+β·丨β丨2=β,  β为A的对应于λ2=1的特征向量.  ∵r(A)≤r(2ααT)+r(ββT)=r(α)+r(β)=2<3,  ∴λ3=0是矩阵A的特征值,  故f在正交变换下的标准形为2y12+y22

解析
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