2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2022-11-28  51
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
选项
答案∵Aα=(2ααT+ββT)α=2α丨α丨2+ββTα=2α， 　∴α为A的对应于λ1=2的特征向量， 　又Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααT·β+β·丨β丨2=β， 　β为A的对应于λ2=1的特征向量． 　∵r(A)≤r(2ααT)+r(ββT)=r(α)+r(β)=2＜3， 　∴λ3=0是矩阵A的特征值， 　故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
解析
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考研数学三

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