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设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 若α,β正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 若α,β正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
admin
2022-11-28
39
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
,记
若α,β正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
选项
答案
∵Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α丨α丨
2
+ββ
T
α=2α, ∴α为A的对应于λ
1
=2的特征向量, 又Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
·β+β·丨β丨
2
=β, β为A的对应于λ
2
=1的特征向量. ∵r(A)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=r(α)+r(β)=2<3, ∴λ
3
=0是矩阵A的特征值, 故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tRgD777K
0
考研数学三
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