设n阶矩阵求A的特征值和特征向量；

admin2013-03-29 38

问题设n阶矩阵

求A的特征值和特征向量；

选项

答案[*] 若b≠0，则由丨λE-B丨=λⁿ-nbλ^n-1 知B的特征值是nb，0，0，…，0(n-1个0)．从而A的特征值：λ₁=1+(n-1)b，λ₂=…=λ_n=1-b．对于B，当λ=0时，由(0E-B)x=0有 [*] 解得基础解系η₁=(1，-1，0，…，0)^T，η₂=(1，0，-1，…，0)^T，η_n-1=(1，0，0，…，-1)^T．它们是B属于特征值λ=0的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=1-b的特征向量．故λ=1-b的全部特征向鼍为：k₁η₁+k₂η₂+…+k_n-1η_n-1，其k₁，k₂，…，k_n-1是不全为0的常数．对于B，B²=nbB，则B(γ₁，γ₂，…，γ_n)=nb(γ₁，γ₂，…，γ_n)知γ_i是B属下特征值λ=nb的特征向量．所以矩阵A属于特征值λ=1+(n-1)b的特征向量是：k(1，1，…，1)^T．其中k为任意非零常数． b=0，则A=E，此时A的特征倩是λ₁=…=λ_n=l，任意非零列向量均为特征向量．

解析

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考研数学三

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