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  3. 设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

admin2013-03-29  34
问题 设n阶矩阵

求A的特征值和特征向量；
选项
答案[*] 若b≠0，则由丨λE-B丨=λn-nbλn-1 知B的特征值是nb，0，0，…，0(n-1个0)．从而A的特征值：λ1=1+(n-1)b，λ2=…=λn=1-b．对于B，当λ=0时，由(0E-B)x=0有 [*] 解得基础解系η1=(1，-1，0，…，0)T，η2=(1，0，-1，…，0)T，ηn-1=(1，0，0，…，-1)T． 它们是B属于特征值λ=0的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=1-b的特征向量．故λ=1-b的全部特征向鼍为：k1η1+k2η2+…+kn-1ηn-1，其k1，k2，…，kn-1是不全为0的常数． 对于B，B2=nbB，则B(γ1，γ2，…，γn)=nb(γ1，γ2，…，γn)知γi是B属下特征值λ=nb的特征向量．所以矩阵A属于特征值λ=1+(n-1)b的特征向量是：k(1，1，…，1)T．其中k为任意非零常数． b=0，则A=E，此时A的特征倩是λ1=…=λn=l，任意非零列向量均为特征向量．
解析
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考研数学三

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