设f(x)在x=a处可导，则｜f(x)｜在x=a处不可导的充分必要条件是 ( )

admin2016-07-22 48

问题设f(x)在x=a处可导，则｜f(x)｜在x=a处不可导的充分必要条件是 ( )

选项 A、f(a)=0，f′(a)=0．
B、f(a)=0，f′(a)≠0．
C、f(a)≠0，f′(a)=0．
D、f(a)≠0，f′(a)≠0．

答案B

解析若f(a)≠0，则存在x=a的某邻域U(a)，在该邻域内f(x)与f(a)同号．于是推知，若f(a)＞0，则｜f(x)｜=f(x)(当x∈U(a))；若f(a)＜0，则｜f(x)｜=－f(x)．总之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x=a处总可导．
若f(a)=0，则

从而知

其中x→a⁺时取“+”，x→a^－时取“－”，所以f(a)=0时，｜f(x)｜在x=a处可导的充要条件为｜f′(a)｜=0，即f′(a)=0．
所以当且仅当f(a)=0，f′(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a处不可导，选(B)．

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