Let S be the set of all positive integers n such that n2 is a multiple of 24 and 108. Which of the following integers are diviso

admin2020-10-11 28

问题 Let S be the set of all positive integers n such that n2 is a multiple of 24 and 108. Which of the following integers are divisor of every integer n in 57 Indicate all such integers.

选项 A、12
B、24
C、36
D、72

答案A,C

解析这是一个融合了完全平方数、最小公倍数、因数等多个知识点的题目，而且作为一道多选题，此题描述复杂。“all/every”这种词汇告诉考生此题想蒙对是不可能的。
在切入点部分，通过联系之前讲过的知识点，以及题目提到的“n² is a multiple of 24 and 108”，因此要去找24和108的最小公倍数。通过短除法，算出最小公倍数是216。再通过质因数分解，其形式是2³3³，而n是正整数，n²是一个完全平方数，能够让2³3³变为完全平方数的第一个正整数是6，此时n²变为2⁴3⁴，n就是36。
接下来再去思考集合S的下一个元素的时候就容易想到，既然n²是一个完全平方数，那就要继续在2⁴3⁴的基础上添加完全平方数，于是第二个符合条件的n²是2⁴3⁴2²，依此类推，2⁴3⁴3²，2⁴3⁴4²，…。因此，n就是36，72，108，…，也就是36的所有倍数。
但做到这里，还要注意题目问的是divisor，不是元素本身。要找的是36，72，108，…的公因数，也就是它们的最大公因数的因数，即36的因数，所以正确答案是12和36。选A和C。

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