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  3. 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

admin2016-09-13  104
问题 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．
选项
答案由方程组[*]得x=0(0≤y≤b)及点(4，0)，(2，1)。而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤b)在D的边界上，只有点(2，1)在D内部，可能是极值点． fˊˊxx=8y－6xy－2y2，fˊˊxy=8x－3x2－4xy，fˊˊyy=－2x2． 在点(2，1)处， A=[*]=－6，B=[*]=－4，C=[*]=－8，B2－AC=－32＜0， 且A＜0，因此点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4． 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0．在边界x+y=6上，y=6－x代入f(x，y)中得，z=2x3－12x2(0≤x≤6)． 由zˊ=6x2－24x=0得x=0，x=4．在边界x+y=6上对应x=0，4，6处z的值分别为： z｜x=0=2x3－12x2｜x=0=0，z｜x=4=2x3－12x2｜x=4=－64，z｜x=6=2x3－12x2｜x=6=0 因此知z=f(x，y)在边界上的最大值为0，最小值为f(4，2)=－64． 将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=－64．
解析
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考研数学三

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