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求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.
admin
2016-09-13
91
问题
求二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.
选项
答案
由方程组[*]得x=0(0≤y≤b)及点(4,0),(2,1)。而点(4,0)及线段x=0(0≤y≤b)在D的边界上,只有点(2,1)在D内部,可能是极值点. fˊˊ
xx
=8y-6xy-2y
2
,fˊˊ
xy
=8x-3x
2
-4xy,fˊˊ
yy
=-2x
2
. 在点(2,1)处, A=[*]=-6,B=[*]=-4,C=[*]=-8,B
2
-AC=-32<0, 且A<0,因此点(2,1)是z=f(x,y)的极大值点,极大值f(2,1)=4. 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上,f(x,y)=0.在边界x+y=6上,y=6-x代入f(x,y)中得,z=2x
3
-12x
2
(0≤x≤6). 由zˊ=6x
2
-24x=0得x=0,x=4.在边界x+y=6上对应x=0,4,6处z的值分别为: z|
x=0
=2x
3
-12x
2
|
x=0
=0,z|
x=4
=2x
3
-12x
2
|
x=4
=-64,z|
x=6
=2x
3
-12x
2
|
x=6
=0 因此知z=f(x,y)在边界上的最大值为0,最小值为f(4,2)=-64. 将边界上最大值和最小值与驻点(2,1)处的值比较得,z=f(x,y)在闭区域D上的最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=-64.
解析
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考研数学三
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