已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3一2α1+3α3．求矩阵A的特征向量；

admin2014-02-06 90

问题已知A是3阶矩阵，α₁,α₂,α₃是线性无关的3维列向量，满足Aα₁=一α₁一3α₂—3α₃，Aα₂=4α₁+4α₂+α₃，Aα₃一2α₁+3α₃．
求矩阵A的特征向量；

选项

答案由(E—B)x=0得基础解系β₁=(1，1，1)^T，即矩阵曰属于特征值λ=1的特征向量，由(2E—B)x=0得基础解系β₂=(2，3，3)^T，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，由(3E一B)x=0得基础解系β₃=(1，3，4)^T，即矩阵B属于特征值A=3的特征向量，那么令P₂=(β₁，β₂，β₃)，则有P₂^-1BP₂=[*]于是令[*]=(α₁+α₂+α₃，2α₁+3α₂+3α₃，α₁+3α₂+4α₃)，则有P^-1AP=(P₁P₂)^-1A(P₁P₂)=P₂^-1(P₁^-1AP₁)P₂=P₂^-1BP₂=[*]所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为k₁(α₁+α₂+α₃)，k₂(2α₁+3α₂+3α₃)，k₃(α₁+3α₂+4α₃)，k_i≠0(i=1，2，3)．

解析

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考研数学三

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已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3一2α1+3α3．求矩阵A的特征向量；

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