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设函数f(x)在[0,π]上连续,且f(x)dx=0,f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且f(x)dx=0,f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2018-09-26
45
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且
f(x)dx=0,
f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
引入辅助函数F(x)=[*]f(t)dt,x∈[0,π],则 F'(x)=f(x),F(0)=F(π)=0, 又0=[*]f(x)cosxdx=[*]cosxdF(x)=F(x)cosx[*]F(x)sinxdx=[*]F(x)sinxdx, 因此,必存在-点ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,否则F(x)sinx在(0,π)内恒正或恒负,均与[*]F(x)sinxdx=0矛盾,因ξ∈(0,π),sinξ≠0,所以F(ξ)=0. 综上所述,F(0)=F(ξ)=F(π)=0,ξ∈(0,π). 在区间[0,π]和[ξ,π]上分别对F(x)应用罗尔定理,知存在ξ
1
∈(0,ξ)和ξ
2
∈(ξ,π),使得F'(ξ
1
)=F'(ξ
2
)=0,即f(ξ
2
)=f(ξ
2
)=0.
解析
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本试题收录于:
高等数学(一)题库公共课分类
0
高等数学(一)
公共课
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