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设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求u(x,y)的一般表达式.
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求u(x,y)的一般表达式.
admin
2016-07-22
72
问题
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式
[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy
为某二元函数u(x,y)的全微分.
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)求u(x,y)的一般表达式.
选项
答案
(Ⅰ)由题知,存在二元函数u(x,y),使 du=[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy, 即 [*]=xy(1+y)-f(x)y,[*]=f(x)+x
2
y 由于f(x)具有一阶连续导数,所以u的二阶混合偏导数连续,所以有 [*] 即有x(1+2y)-f(x)=f′(x)+2xy, f′(x)+f(x)=x. 连同已知f(0)=0,可求得f(x)=x-1+e
-x
. (Ⅱ)由(Ⅰ)有,du=(xy
2
+y-ye
-x
)dx+(x-1+e
-x
+x
2
y)dy.求u(x,y)有多个方法. 凑微分法. du=(xy
2
+y-ye
-x
)dx+(x-1+e
-x
+x
2
y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(-ye
-x
dx+e
-x
dy)-dy =d[[*](xy)
2
+xy+ye
-x
-y], 所以 u(x,y)=[*](xy)
2
+xy+ye
-x
-y+C, 其中C为任意常数.
解析
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考研数学二
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