2. 考研
  3. 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)－f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求u(x，y)的一般表达式．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)－f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求u(x，y)的一般表达式．

admin2016-07-22  53
问题 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)－f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
(Ⅰ)求f(x)；
(Ⅱ)求u(x，y)的一般表达式．
选项
答案(Ⅰ)由题知，存在二元函数u(x，y)，使 du=[xy(1+y)－f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy， 即 [*]=xy(1+y)－f(x)y，[*]=f(x)+x2y 由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有 [*] 即有x(1+2y)－f(x)=f′(x)+2xy， f′(x)+f(x)=x． 连同已知f(0)=0，可求得f(x)=x－1+e－x． (Ⅱ)由(Ⅰ)有，du=(xy2+y－ye－x)dx+(x－1+e－x+x2y)dy．求u(x，y)有多个方法． 凑微分法． du=(xy2+y－ye－x)dx+(x－1+e－x+x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(－ye－xdx+e－xdy)－dy =d[[*](xy)2+xy+ye－x－y]， 所以 u(x，y)=[*](xy)2+xy+ye－x－y+C， 其中C为任意常数．
解析
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考研数学二

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