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如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形. 过B1作直线L交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线L的方程.
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形. 过B1作直线L交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线L的方程.
admin
2019-08-05
11
问题
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F
1
,F
2
,线段OF
1
,OF
2
的中点分别为B
1
,B
2
,且△AB
1
B
2
是面积为4的直角三角形.
过B
1
作直线L交椭圆于P,Q两点,使PB
2
⊥QB
2
,求直线L的方程.
选项
答案
已知B
1
(一2,0),B
2
(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为:x=my一2.代入椭圆方程得(m
2
+5)y
2
一4my一16=0. 设P(x
1
,y
1
)、Q(x
2
,y
2
),则y
1
,y
2
是上面方程的两根,因此y
1
+y
2
=[*],y
1
y
2
=[*].又因为[*]=(x
1
-2)(x
2
—2)+y
1
y
2
=(my
1
—4)(my
2
—4)+y
1
y
2
=(m
2
+1)y
1
y
2
—4m(y
1
+y
2
)+16=[*].由PB
2
⊥QB
2
,得[*]=0,即16m
2
一64=0,解得m=±2. 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x一2y+2=0.
解析
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