设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)= (Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式； (Ⅱ

admin2016-10-20 58

问题设A=(a_ij)是秩为n的n阶实对称矩阵，A_ij是｜A｜中元素a_ij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=

(Ⅰ)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，试写出二次型f(x₁，x₂，…，x_n)的矩阵形式；
(Ⅱ)判断二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由．

选项

答案(Ⅰ)因为r(A)=n，故A是可逆的实对称矩阵，于是(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，即A^-1是实对称矩阵，那么[*]是对称的，因而A^*是实对称矩阵，可见A_ij=A_ji(i，j=1，2，…，n)，于是 [*] 因此，二次型f的矩阵表示为X^TA^-1X，其二次型矩阵为A^-1． (Ⅱ)因为A，A^-1均是可逆的实对称矩阵，且(A^-1)^TAA^-1=(A^-1)^TE=(A^T)^-1=A^-1．所以A与A^-1合同．于是g(X)与f(X)有相同的规范形．

解析按定义，若f(X)=X^TBX，其中B是实对称矩阵，则X^TBX就是二次型f的矩阵表示，而两个二次型的规范形是否一样关键是看正负惯性指数是否一致．

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考研数学三

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设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)= (Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式； (Ⅱ

考研数学三

1

一批产品共有a十b个，其中a个正品，b个次品．今采用不放回抽样n次，问抽到的n个产品里恰有k个是正品的概率是多少?

利用概率测度的性质证明：在投掷两枚硬币的试验中，第一枚是均匀的当且仅当P({(H，H)，(H，T)})=1/2；第二枚硬币是均匀的当且仅当P({(H，H)，(T，H)})=1/2，其中H表示硬币出现的是正面，T表示硬币出现的是反面．

设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，-1，4，1)，求：(1)向量组的秩；(2)求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示．

设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性方程的解，C1与C2是任意常数．则该非齐次线性方程的通解是()．

求下列极限．

将下列函数展开成x的幂级数并指出展开式成立的区间：(1)sinhx；(2)ln(2＋x)；；(3)sin2x；(7)(1＋x)e－x；(8)arcsinx．

设f(x)=3x3+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为_______．

证明推广的积分中值定理：设F(x)与G(x)都是区间[a，b]上的连续函数，且G(x)≥0，G(x)≠0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得

社会学n.s________

采用“集中决策，分散经营”的组织结构是()。

Forthispart,youareallowed30minutestowriteacompositiononthetopicOnlineGames.Youshouldwriteatleast120words

∫(3x+2sinx)dx=___________.

人体中最根本、最重要的气是

病史中哪项可能是错误的患者最可能的诊断为

成人斯蒂尔病

中国药典(2000年版)规定采用铈量法测定葡萄糖亚铁片(每片0.3g)的含量。方法为：取供试品20片，精密称定其重量为6.000g，研细，精密称取0.9644g，依规定方法滴定，消耗硫酸铈滴定液(0.1mo/L)20.00ml，已知每lml硫酸铈滴定液(0

下列所给图形的左侧是一完整的立方体，中间和右侧再加上下列选项中的(　　)就可以构成左侧的完整的立方体。

网上支付系统最根本的特征是通过【　　】来实现资金传输。

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1

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下列所给图形的左侧是一完整的立方体，中间和右侧再加上下列选项中的( )就可以构成左侧的完整的立方体。

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