设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，则方程2x—∫0xf(t)dt=1在(0，1)内实根的个数是_______．

admin2015-09-06 31

问题设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，则方程2x—∫₀^xf(t)dt=1在(0，1)内实根的个数是_______．

选项

答案1

解析设F(x)=2x—∫₀^xf(t)dt一1，则
F(0)=一1＜0，F(1)=1—∫₀¹f(t)dt＞1-∫₀¹dt=0．
由闭区间上连续函数的性质——介值定理可知，F(x)在(0，1)内至少有一个零点．
又因
F’(x)=2一f(x)＞0，
故F(x)在(0，1)内为严格单调增函数，从而F(x)=0，即2x—∫₀^xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．

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