已知BD为正方形ABCD的对角线，M为BD上异于B、D的一个动点，以AB为边，在 AB左侧作等边△ABE，以BM为边在BD左侧作等边△BMF，连接EF，AM，CM．当AM+BM+CM最短时，∠BCM的大小( )．

admin2019-12-10 90

问题已知BD为正方形ABCD的对角线，M为BD上异于B、D的一个动点，以AB为边，在 AB左侧作等边△ABE，以BM为边在BD左侧作等边△BMF，连接EF，AM，CM．当AM+BM+CM最短时，∠BCM的大小( )．

选项 A、15°
B、45°
C、30°
D、60°

答案A

解析因为△ABE、△BMF均为等边三角形．则∠ABE=∠FBM．∠ABF为两角公共的部分。故∠EBF=∠ABM，且BF=BM．BE=BA，可证明△BEF≌△BAM．EF=AM．因为AM+BM+CM=EF+FM+MC，所以当E、F、M、C四点在一条直线上时，AM+BM+CM最短，此时满足已知条件．当E、F、M、C四点在一条直线上时，相当于F、M在△EBC的边EC上．因为EB=AB=BC，故△EBC为等腰三角形．又因为∠EBA=60°，∠ABC=90°，所以∠EBC=150°，∠CEB=∠BCE=15°．即∠BCM=15°，本题选A