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已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0。 (1)若一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈
已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0。 (1)若一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈
admin
2015-12-04
8
问题
已知函数f(x)=e
ax
-x,其中a≠0。
(1)若一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x
1
,f(x
1
)),B(x
2
,f(x
2
))(x
1
<x
2
),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x
0
∈(x
1
,x
2
),使f’(x)>k成立?若存在,求x
0
的取值范围;若不存在,请说明理由。
选项
答案
(1)若a<0,则对一切x>0,f(x)=e
ax
-x<1,这与题设矛盾,又a≠0,a>0。 [*] 令g(t)=t-t.lnt,则g’(t)=-lnt。 当0<t<1时,g’(t)>0,g(t)单调递增;当t>1时,g’(t)<0,g(t)单调递减。 ∴当t=1时,g(t)取最大值g(1)=1,当且仅当[*],即a=1时,①式成立。 综上所述,a的取值集合为{1}。 [*] 令F(t)=e
t
-t一1,则F’(t)=e
t
-1, 当t<0时,F‘(t)<0,F(t)单调递减;当t>0时,F’(t)>0,F(t)单调递增。 ∴当t≠0时,F(t)>F(0)=0,即e
t
-t-1>0, [*]
解析
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