2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=eax-x，其中a≠0。 (1)若一切x∈R,f(x)≥1恒成立，求a的取值集合； (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2,f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈

已知函数f(x)=eax-x，其中a≠0。 (1)若一切x∈R,f(x)≥1恒成立，求a的取值集合； (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2,f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈

admin2015-12-04  15
问题 已知函数f(x)=eax-x，其中a≠0。
    (1)若一切x∈R,f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；
    (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2,f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈(x1，x2)，使f’(x)＞k成立?若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由。
选项
答案(1)若a＜0，则对一切x＞0，f(x)=eax-x＜1，这与题设矛盾，又a≠0，a＞0。 [*] 令g(t)=t-t.lnt，则g’(t)=-lnt。 当0＜t＜1时，g’(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g’(t)＜0，g(t)单调递减。 ∴当t=1时，g(t)取最大值g(1)=1，当且仅当[*]，即a=1时，①式成立。 综上所述，a的取值集合为{1}。 [*] 令F(t)=et-t一1，则F’(t)=et-1， 当t＜0时，F‘(t)＜0，F(t)单调递减；当t＞0时，F’(t)＞0，F(t)单调递增。 ∴当t≠0时，F(t)＞F（0)=0，即et-t-1＞0， [*]
解析
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