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设f(x)在[1,+∞)上有界且可导,则f'(x)=0的一个充分条件为( ).
设f(x)在[1,+∞)上有界且可导,则f'(x)=0的一个充分条件为( ).
admin
2019-12-20
69
问题
设f(x)在[1,+∞)上有界且可导,则
f'(x)=0的一个充分条件为( ).
选项
A、
f'(x)存在
B、
f(x)存在
C、
f(x+1)-f(x)]=0
D、∫
1
+∞
f(x)dx收敛
答案
A
解析
设f(x)在[1,+∞)上有界且可导,如果
f'(x)存在,则必有
f'(x)=0.证明如下:
假设[img][/img]f'(x)=a≠0,不妨设a>0,则存在充分大的x
0
,当x>x
0
时,f'(x)>
,由拉格朗日中值定理,有
f(x) -f(x
0
)=f'(ξ)(x-x
0
)>
(x-x
0
),ξ∈(x
0
,x),
即 f(x)>f(x
0
)+
(x-x
0
),
上式对任意的X>X
0
都成立,这与f(x)的有界性矛盾,所以
f'(x)=0.故A正确.
B不正确,设f(x)=
sinx
2
,则
sin x
2
=0,因为f'(x)=
sinx
2
+2cosx
2
.
所以
f'(x)不存在.
C不正确,因为由
[f(x+1)-f(x)]=0,可得
f'(ξ)=0,ξ∈(x,x+1),这不能得到
f'(x)=0,注意ξ与x可能是不一样的.
由D只能得到
f(x)=0的结论,比较B,即知D不正确.
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本试题收录于:
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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