设f(x)在[1,+∞)上有界且可导,则f'(x)=0的一个充分条件为( ).

admin2019-12-20  42

问题 设f(x)在[1,+∞)上有界且可导,则f'(x)=0的一个充分条件为(    ).

选项 A、f'(x)存在
B、f(x)存在
C、f(x+1)-f(x)]=0
D、∫1+∞f(x)dx收敛

答案A

解析 设f(x)在[1,+∞)上有界且可导,如果f'(x)存在,则必有f'(x)=0.证明如下:
假设[img][/img]f'(x)=a≠0,不妨设a>0,则存在充分大的x0,当x>x0时,f'(x)>,由拉格朗日中值定理,有
  f(x) -f(x0)=f'(ξ)(x-x0)>(x-x0),ξ∈(x0,x),
即    f(x)>f(x0)+(x-x0),
上式对任意的X>X0都成立,这与f(x)的有界性矛盾,所以f'(x)=0.故A正确.
B不正确,设f(x)=sinx2,则sin x2=0,因为f'(x)=sinx2+2cosx2
所以f'(x)不存在.
C不正确,因为由[f(x+1)-f(x)]=0,可得f'(ξ)=0,ξ∈(x,x+1),这不能得到f'(x)=0,注意ξ与x可能是不一样的.
由D只能得到f(x)=0的结论,比较B,即知D不正确.
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