2. 考研
  3. 设f(x)在[1，+∞)上有界且可导，则f＇(x)=0的一个充分条件为( )．

设f(x)在[1，+∞)上有界且可导，则f＇(x)=0的一个充分条件为( )．

admin2019-12-20  83
问题 设f(x)在[1，+∞)上有界且可导，则f＇(x)=0的一个充分条件为(    )．
选项 A、f＇(x)存在
B、f(x)存在
C、f(x+1)－f(x)]=0
D、∫1+∞f(x)dx收敛
答案A
解析 设f(x)在[1，+∞)上有界且可导，如果f＇(x)存在，则必有f＇(x)=0．证明如下：
假设[img][/img]f＇(x)=a≠0，不妨设a＞0，则存在充分大的x0，当x＞x0时，f＇(x)＞,由拉格朗日中值定理，有
  f(x) －f(x0)=f＇(ξ)(x－x0)＞(x－x0)，ξ∈(x0，x)，
即    f(x)＞f(x0)+(x－x0)，
上式对任意的X＞X0都成立，这与f(x)的有界性矛盾，所以f＇(x)=0．故A正确．
B不正确，设f(x)=sinx2，则sin x2=0，因为f＇(x)=sinx2+2cosx2．
所以f＇(x)不存在．
C不正确，因为由[f(x+1)－f(x)]=0，可得f＇(ξ)=0，ξ∈(x，x+1)，这不能得到f＇(x)=0，注意ξ与x可能是不一样的．
由D只能得到f(x)=0的结论，比较B，即知D不正确．
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