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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,BC=20,M是AB边上的动点(与点A、B不重合),N是BC边上的动点(与点B、C不重合). 当MN与AC不平行时,△CMN可能成为直角三角形吗?若可能,写出aN的长度范围,否则说明理由.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,BC=20,M是AB边上的动点(与点A、B不重合),N是BC边上的动点(与点B、C不重合). 当MN与AC不平行时,△CMN可能成为直角三角形吗?若可能,写出aN的长度范围,否则说明理由.
admin
2016-03-24
23
问题
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,BC=20,M是AB边上的动点(与点A、B不重合),N是BC边上的动点(与点B、C不重合).
当MN与AC不平行时,△CMN可能成为直角三角形吗?若可能,写出aN的长度范围,否则说明理由.
选项
答案
△CMN可能是直角三角形. 由题意可知,MN与AC不平行,则∠CNM≠90°, 又点M不与点A重合,故∠NCM≠90°, 则若想△CMN可能成为直角三角形,只有使∠CMN=90°. 若想∠CMN=90°,则需过点C,圆心O在BC上的圆与AB相切或相交(两个交点均在 AB上),此时圆与AB的交点即为M,圆与BC的交点即为N,即CN为圆0的直径. 设圆0的半径为r,当圆O仅与AB相切时,圆O的直径取值最小,即使∠CMN=90°的CN长最短. 设圆O与AB相切,则切点为M,所以0M⊥AB,如图所示 [*] 过点C作CP⊥AB于P,则[*], 又0M//CP,得[*],解得r=7.5,则CN=15; 由于点N在BC上,且点N不与B、C重合,故若要∠CMN=90°,则∠CMB>90°,故点M应在BP上(不包括点P和点B),当圆O的直径,即CN等于BC时,其直径长达到最大,继续增大直径,圆便不再满足条件,但N不与B重合,故CN<CB=20; 所以当15≤CN<20时,△CMN可能是直角三角形
解析
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