2. 公务员
  3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，M是AB边上的动点(与点A、B不重合)，N是BC边上的动点(与点B、C不重合)． 当MN与AC不平行时，△CMN可能成为直角三角形吗?若可能，写出aN的长度范围，否则说明理由．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，M是AB边上的动点(与点A、B不重合)，N是BC边上的动点(与点B、C不重合)． 当MN与AC不平行时，△CMN可能成为直角三角形吗?若可能，写出aN的长度范围，否则说明理由．

admin2016-03-24  23
问题 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，M是AB边上的动点(与点A、B不重合)，N是BC边上的动点(与点B、C不重合)．

当MN与AC不平行时，△CMN可能成为直角三角形吗?若可能，写出aN的长度范围，否则说明理由．
选项
答案△CMN可能是直角三角形． 由题意可知，MN与AC不平行，则∠CNM≠90°， 又点M不与点A重合，故∠NCM≠90°， 则若想△CMN可能成为直角三角形，只有使∠CMN=90°． 若想∠CMN=90°，则需过点C，圆心O在BC上的圆与AB相切或相交(两个交点均在 AB上)，此时圆与AB的交点即为M，圆与BC的交点即为N，即CN为圆0的直径． 设圆0的半径为r，当圆O仅与AB相切时，圆O的直径取值最小，即使∠CMN=90°的CN长最短． 设圆O与AB相切，则切点为M，所以0M⊥AB，如图所示 [*] 过点C作CP⊥AB于P，则[*]， 又0M／／CP，得[*]，解得r=7．5，则CN=15； 由于点N在BC上，且点N不与B、C重合，故若要∠CMN=90°，则∠CMB＞90°，故点M应在BP上(不包括点P和点B)，当圆O的直径，即CN等于BC时，其直径长达到最大，继续增大直径，圆便不再满足条件，但N不与B重合，故CN＜CB=20； 所以当15≤CN＜20时，△CMN可能是直角三角形
解析
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