设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明结论.

admin2016-05-31  45

问题 设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明结论.

选项

答案由(1)中结果知,矩阵D与矩阵M=[*]合同,又因D是正定矩阵,所以矩阵M为正定矩阵,从而可知M是对称矩阵,那么B-CTA-1C是对称矩阵. 对m维向量X=(0,0,…,0)T和任意n维非零向量Y=(y1,y2,…yn)T≠0,都有 [*] 依定义,YT(B-CTA-1C)Y为正定二次型,所以矩阵B-CTA-1C为正定矩阵.

解析
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