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设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明结论.
设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明结论.
admin
2016-05-31
46
问题
设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
利用(1)的结果判断矩阵B-C
T
A
-1
C是否为正定矩阵,并证明结论.
选项
答案
由(1)中结果知,矩阵D与矩阵M=[*]合同,又因D是正定矩阵,所以矩阵M为正定矩阵,从而可知M是对称矩阵,那么B-C
T
A
-1
C是对称矩阵. 对m维向量X=(0,0,…,0)
T
和任意n维非零向量Y=(y
1
,y
2
,…y
n
)
T
≠0,都有 [*] 依定义,Y
T
(B-C
T
A
-1
C)Y为正定二次型,所以矩阵B-C
T
A
-1
C为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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