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  3. 定义Fibonacci数列如下： 输入n，用最快的方法求该数列的第n项。

定义Fibonacci数列如下： 输入n，用最快的方法求该数列的第n项。

admin2019-03-29  151
问题 定义Fibonacci数列如下：

输入n，用最快的方法求该数列的第n项。
选项
答案#include /////////////////////////////////////////////////////////////////////// // A 2 by 2 matrix /////////////////////////////////////////////////////////////////////// struct Matrix2By2 { Matrix2By2 ( long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0 ) :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) { } long long m_00; long long m_01; long long m_10; long long m_11; }; /////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Multiply two matrices // Input: matrix1 - the first matrix // matrix2 - the second matrix //Output: the production of two matrices /////////////////////////////////////////////////////////////////////// Matrix2By2 MatrixMultiply ( const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2 ) { return Matrix2By2( matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10, matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11, matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10, matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11); } /////////////////////////////////////////////////////////////////////// // The nth power of matrix // 1 1 // 1 0 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) { assert(n > 0); Matrix2By2 matrix; if(n == 1) { matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0); } else if(n % 2 == 0) { matrix = MatrixPower(n / 2); matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); } else if(n % 2 == 1) { matrix = MatrixPower((n - 1) / 2); matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0)); } return matrix; } /////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer /////////////////////////////////////////////////////////////////////// long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n) { int result[2] = {0, 1}; if(n < 2) return result[n]; Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1); return PowerNMinus2.m_00; }
解析 在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下的递归求解的代码。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
  return result[n];

return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}
但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系

我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试，感受一下这样递归会慢到什么程度。在我的机器上，连续运行了一个多小时也没有出来结果。
其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。
更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
  return result[n];

long long  fibNMinusOne = 1;
long long  fibNMinusTwo = 0;
long long  fibN = 0;
for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)
{
  fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;

  fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
  fibNMinusOne = fibN;
}

  return fibN;
}
这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)
有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：

要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。
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