设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第三列为 (Ⅰ)求A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-14 104

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为

，且Q的第三列为

(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*]，则A=QΛQ^T,设Q的其他任一列向量为(x₁，x₂，x₃)^T。因为Q为正交矩阵，所以 [*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=(=1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T。把α₁单位化得β₁=[*](-1，0，1)^T，所以 [*] (Ⅱ)证明：因为(A+E)^T=A^T+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第三列为 (Ⅰ)求A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

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