设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为,且Q的第三列为 (Ⅰ)求A; (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-14  68

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为,且Q的第三列为
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)由题意知QTAQ=Λ,其中Λ=[*],则A=QΛQT,设Q的其他任一列向量为(x1,x2,x3)T。因为Q为正交矩阵,所以 [*] 即x1+x3=0,其基础解系含两个线性无关的解向量,即为α1=(=1,0,1)T,α2=(0,1,0)T。把α1单位化得β1=[*](-1,0,1)T,所以 [*] (Ⅱ)证明:因为(A+E)T=AT+E=A+E,所以A+E为实对称矩阵。 又因为A的特征值为1,1,0,所以A+E特征值为2,2,1,都大于0,因此A+E为正定矩阵。

解析
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