设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0.f’+(a)f’-(b)>0,且g(x)≠0(x∈[a,b]),g’’(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得

admin2018-05-25  37

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0.f’+(a)f’(b)>0,且g(x)≠0(x∈[a,b]),g’’(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得

选项

答案设f’+(a)>0,f’(b)>0, 由f’+(a)>0,存在x1∈(a,b),使得f(x1)>f(a)=0; 由f’(b)>0,存在x2∈(a,b),使得f(x2)<f(b)=0, 因为f(x1)f(x2)<0,所以由零点定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=0. 令 [*] 显然h(x)在[a,b]上连续,由h(a)=h(c)=h(b)=0,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0,而 [*] 令φ(x)=f’(x)g(x)-f(x)g’(x),φ(ξ1)=φ(ξ1)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=f’’(x)g(x)-f(x)g’’(x),所以 [*]

解析
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