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设矩阵A=(α1,α2,α3),其中α1,α2,α3是4维列向量,已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为 x=k(1,-2,3)T+(1,2,-1)T,k为任意常数. 令矩阵B=(α1,α2,α3,b+α3),证明方程组Bx=α1-α2有无
设矩阵A=(α1,α2,α3),其中α1,α2,α3是4维列向量,已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为 x=k(1,-2,3)T+(1,2,-1)T,k为任意常数. 令矩阵B=(α1,α2,α3,b+α3),证明方程组Bx=α1-α2有无
admin
2019-12-26
65
问题
设矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
),其中α
1
,α
2
,α
3
是4维列向量,已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x=k(1,-2,3)
T
+(1,2,-1)
T
,k为任意常数.
令矩阵B=(α
1
,α
2
,α
3
,b+α
3
),证明方程组Bx=α
1
-α
2
有无穷多组解,并求其通解.
选项
答案
因 [*] 故r(α
1
,α
2
,α
3
,b+α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,b+α
3
,α
1
-α
2
)=2<4,即非齐次方程组Bx=α
1
-α
2
有无穷多组解. 因 [*] 故η
*
=(1,-1,0,0)
T
为Bx=α
1
-α
2
的一个特解.又 [*] 由于r(α
2
,α
3
)=2,所以Bx=0与[*]同解,容易求得[*]的通解为x=k
1
(1,-2,3,0)
T
+k
2
(0,4,-3,-1)
T
,其中k
1
,k
2
为任意常数.故Bx=α
1
-α
2
的通解为 x=k
1
(1,-2,3,0)
T
+k
2
(0,4,-3,-1)
T
+(1,-1,0,0)
T
,其中k
1
,k
2
为任意常数.
解析
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考研数学三
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