2. 专升本
  3. 设函数f(χ)在(a，b)内有三阶导数，且f(χ1)＝f(χ2)＝f(χ3)＝f(χ4)，其中a＜χ1＜χ2＜χ3＜χ4＜b，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得＝0。

设函数f(χ)在(a，b)内有三阶导数，且f(χ1)＝f(χ2)＝f(χ3)＝f(χ4)，其中a＜χ1＜χ2＜χ3＜χ4＜b，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得＝0。

admin2014-08-30  67
问题 设函数f(χ)在(a，b)内有三阶导数，且f(χ1)＝f(χ2)＝f(χ3)＝f(χ4)，其中a＜χ1＜χ2＜χ3＜χ4＜b，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得＝0。
选项
答案因f(χ)在(a，b)内有三阶导数，且f(χ1)＝f(χ2)＝f(χ3)＝f(χ4)，故分别在区间[χ1，χ2]，[χ2，χ3]，[χ3，χ4]上对函数f(χ)应用罗尔定理可得，ヨξ1∈(χ1，χ2)使得f′(ξ1)＝0，ヨξ2∈(χ2，χ3)使得f′(ξ2)＝0，ヨξ3∈(χ3，χ4)使得f′(ξ3)＝0；再在区间[ξ1，ξ2]，[ξ2，ξ3]上对一阶导函数f′(χ)应用罗尔定理得，ヨη1∈(ξ1，ξ2)使得f〞(η1)＝0，ヨη2∈(ξ2，ξ3)使得f〞(η2)＝0；最后在区间[η1，η2]上对f〞(χ)应用罗尔定理得，ヨξ∈(η1，η2)使得[*](ξ)＝0．而(η1，η2)[*](a，b)，故命题得证．
解析
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