设函数f(χ)在(a,b)内有三阶导数,且f(χ1)=f(χ2)=f(χ3)=f(χ4),其中a<χ1<χ2<χ3<χ4<b,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得=0。

admin2014-08-30  40

问题 设函数f(χ)在(a,b)内有三阶导数,且f(χ1)=f(χ2)=f(χ3)=f(χ4),其中a<χ1<χ2<χ3<χ4<b,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得=0。

选项

答案因f(χ)在(a,b)内有三阶导数,且f(χ1)=f(χ2)=f(χ3)=f(χ4),故分别在区间[χ1,χ2],[χ2,χ3],[χ3,χ4]上对函数f(χ)应用罗尔定理可得,ヨξ1∈(χ1,χ2)使得f′(ξ1)=0,ヨξ2∈(χ2,χ3)使得f′(ξ2)=0,ヨξ3∈(χ3,χ4)使得f′(ξ3)=0;再在区间[ξ1,ξ2],[ξ2,ξ3]上对一阶导函数f′(χ)应用罗尔定理得,ヨη1∈(ξ1,ξ2)使得f〞(η1)=0,ヨη2∈(ξ2,ξ3)使得f〞(η2)=0;最后在区间[η1,η2]上对f〞(χ)应用罗尔定理得,ヨξ∈(η1,η2)使得[*](ξ)=0.而(η1,η2)[*](a,b),故命题得证.

解析
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