根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。

admin2019-12-06 26

问题根据k的不同取值情况，讨论方程x³－3x＋k＝0实根的个数。

选项

答案令 f(x)＝x³－3x+k，x∈R，则f^’(x)＝3x²－3＝0，解得驻点x＝﹣1，x＝1，函数的单增区间为(﹣∞，﹣1)，(1，﹢∞)，单减区间为[﹣1，1]，因此该函数至多有三个根。因为函数f(x)连续，根据零点定理， f(﹣∞)<0，f(﹣1)＝2＋k，f(1)＝k－2，f(﹢∞)﹥0。当k﹤﹣2时，f(﹣1)﹤0，f(1)﹤0，函数在(1，﹢∞)内存在唯一一个根；当﹣2﹤k﹤2时，f(﹣1)﹥0，f(1)﹤0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根；当k﹥2时，f(﹣1)﹥0，f(1)﹥0，函数在(﹣∞，﹣1)内存在唯一一个根；当k＝﹣2时，f(﹣1)＝0，f(1)﹤0，方程在x＝﹣1处和(1，﹢∞)内各有一个根，共两个根；当k＝2时，f(﹣1)﹥0，f(1)＝0，方程在x＝1处和(﹣∞，﹣1)内各有一个根，共两个根。综上所述，k﹤﹣2或k﹥2，方程有且仅有一个根；﹣2﹤k﹤2，方程有三个根；k＝±2，方程有两个根。

解析

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考研数学二

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