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考研
根据k的不同取值情况,讨论方程x3-3x+k=0实根的个数。
根据k的不同取值情况,讨论方程x3-3x+k=0实根的个数。
admin
2019-12-06
34
问题
根据k的不同取值情况,讨论方程x
3
-3x+k=0实根的个数。
选项
答案
令 f(x)=x
3
-3x+k,x∈R, 则f
’
(x)=3x
2
-3=0,解得驻点x=﹣1,x=1,函数的单增区间为(﹣∞,﹣1),(1,﹢∞),单减区间为[﹣1,1],因此该函数至多有三个根。 因为函数f(x)连续,根据零点定理, f(﹣∞)<0,f(﹣1)=2+k,f(1)=k-2,f(﹢∞)﹥0。 当k﹤﹣2时,f(﹣1)﹤0,f(1)﹤0,函数在(1,﹢∞)内存在唯一一个根; 当﹣2﹤k﹤2时,f(﹣1)﹥0,f(1)﹤0,函数在每个单调区间有一根,共有三个根; 当k﹥2时,f(﹣1)﹥0,f(1)﹥0,函数在(﹣∞,﹣1)内存在唯一一个根; 当k=﹣2时,f(﹣1)=0,f(1)﹤0,方程在x=﹣1处和(1,﹢∞)内各有一个根,共两个根; 当k=2时,f(﹣1)﹥0,f(1)=0,方程在x=1处和(﹣∞,﹣1)内各有一个根,共两个根。 综上所述,k﹤﹣2或k﹥2,方程有且仅有一个根;﹣2﹤k﹤2,方程有三个根;k=±2,方程有两个根。
解析
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考研数学二
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