设A为n阶矩阵(n≥2)，A为A的伴随矩阵，证明 r(A)=

admin2018-01-30 58

问题设A为n阶矩阵(n≥2)，A^*为A的伴随矩阵，证明
r(A^*)=

选项

答案当r(A)=n时，｜A｜≠0，则有｜A^*｜=｜A｜^n－1≠0，从而A^*可逆，即r(A^*)=n。当r(A)=n一1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n一1阶子式不为零，即A^*中至少有一个元素不为零，故r(A^*)≥1。又因r(A)=n一1时，有｜A｜=0，且由AA^*=｜A｜E知AA^*=O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A^*)≤n，把r(A)=n一1代入上式，得r(A^*)≤1。综上所述，有r(A^*)=1。当r(A)≤n一2时，A的所有n一1阶子式都为零，也就是A^*的任一元素均为零，即A^*=O，从而r(A^*)=0。

解析

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