2. 考研
  3. 设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明 r(A*)=

设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明 r(A*)=

admin2018-01-30  57
问题 设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明
r(A*)=
选项
答案当r(A)=n时，｜A｜≠0，则有｜A*｜=｜A｜n－1≠0，从而A*可逆，即r(A*)=n。 当r(A)=n一1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n一1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1。 又因r(A)=n一1时，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜E知AA*=O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A*)≤n， 把r(A)=n一1代入上式，得r(A*)≤1。 综上所述，有r(A*)=1。 当r(A)≤n一2时，A的所有n一1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=O，从而r(A*)=0。
解析
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考研数学二

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