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设曲线y=y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切,P(χ,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l1,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l2,又满足χ(3l1+2)=2(χ+1)l2,求曲线y=y(χ).
设曲线y=y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切,P(χ,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l1,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l2,又满足χ(3l1+2)=2(χ+1)l2,求曲线y=y(χ).
admin
2017-03-06
52
问题
设曲线y=y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切,P(χ,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l
1
,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l
2
,又满足χ(3l
1
+2)=2(χ+1)l
2
,求曲线y=y(χ).
选项
答案
由已知条件得y(0)=0,y′(0)=0, l
1
=∫
0
χ
[*]dχ; P(χ,y)处的切线为y-y=y′(X-χ), 令X=0,则Y=y-χy′,A的坐标为(0,y-χy′), l
2
=[*], 由χ(3l
1
+2)=2(χ+1)l
2
得 [*] 两边对χ求导整理得1+y
′2
=2(χ+1)y′y〞. 令y′=p,y〞=[*],代入得1+p
2
-2(χ+1)p[*], 变量分离得[*], 积分得ln(1+P
2
)=ln(χ+1)+lnC
1
,即1+P
2
=C
1
(χ+1), 由初始条件得C
1
=1,即p=±[*],从而y=[*]+C
2
, 再由y(0)=0得C
2
=0,故所求的曲线为y
2
=[*]χ
3
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wabD777K
0
考研数学二
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