2. 考研
  3. 设曲线y＝y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切，P(χ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2，求曲线y＝y(χ)．

设曲线y＝y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切，P(χ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2，求曲线y＝y(χ)．

admin2017-03-06  35
问题 设曲线y＝y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切，P(χ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2，求曲线y＝y(χ)．
选项
答案由已知条件得y(0)＝0，y′(0)＝0， l1＝∫0χ[*]dχ； P(χ，y)处的切线为y－y＝y′(X－χ)， 令X＝0，则Y＝y－χy′，A的坐标为(0，y－χy′)， l2＝[*]， 由χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2得 [*] 两边对χ求导整理得1＋y′2＝2(χ＋1)y′y〞． 令y′＝p，y〞＝[*]，代入得1＋p2－2(χ＋1)p[*]， 变量分离得[*]， 积分得ln(1＋P2)＝ln(χ＋1)＋lnC1，即1＋P2＝C1(χ＋1)， 由初始条件得C1＝1，即p＝±[*]，从而y＝[*]＋C2， 再由y(0)＝0得C2＝0，故所求的曲线为y2＝[*]χ3．
解析
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考研数学二

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