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求f(x,y,z)=2x+2y—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.
求f(x,y,z)=2x+2y—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.
admin
2016-12-09
40
问题
求f(x,y,z)=2x+2y—z
2
+5在区域Ω:x
2
+y
2
+z
2
≤2上的最大值与最小值.
选项
答案
f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续,一定存在最大值、最小值. 第一步,先求f(x,y,z)在Ω上的驻点.由[*] 得f(x,y,z)在Ω上无驻点,因此f(x,y,z)在Ω上的最大值、最小值都只能在Ω的边界上达到. 第二步,求f(x,y,z)在Ω的边界x
2
+y
2
+z
2
=2上的最大值、最小值. 令F(x,y,z,λ)=2x+2y—z
2
+5+λ(x
2
+y
2
+z
2
-2),解方程组 [*] 由式①、式②得x=y;由式③得z=0或λ=1.将x=y,z=0代入式④得x=y=±1, z=0.当λ=1时,由式①、式②、式④也得x=y=一1,z=0.因此得驻点P
1
(一1,一1,0)与P
2
(1,1,0). 经计算得知f(P
1
)=1,f(P
2
)=9.因此,f(x,y,z)在Ω上的最大值为9,最小值为1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MlbD777K
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考研数学二
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