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设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr,线性无关,向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βs可由(Ⅰ)线性表示:βj=α1jα1+α2jα2+…+αrjαr(j=1,2.…,s).证明:向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(αij)r×s的秩为s.
设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr,线性无关,向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βs可由(Ⅰ)线性表示:βj=α1jα1+α2jα2+…+αrjαr(j=1,2.…,s).证明:向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(αij)r×s的秩为s.
admin
2016-03-26
90
问题
设向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
r
,线性无关,向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ):β
1
,β
2
,…,β
s
可由(Ⅰ)线性表示:β
j
=α
1j
α
1
+α
2j
α
2
+…+α
rj
α
r
(j=1,2.…,s).证明:向量组(Ⅱ)线性无关<=>矩阵A=(α
ij
)
r×s
的秩为s.
选项
答案
不妨设α
i
(i=1,…,r)及β
j
(j=1,…,s)均为n维列向量,则题设的线性表示或可写成矩阵形式: [β
1
β
2
… β
r
]=[α
1
α
2
… α
r
]A,或B=PA,其中B=[β
1
β
2
… β
r
]为n×s矩阵,P= [α
1
α
2
… α
r
]为n×r矩阵,且P的列线性无关.于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解:若Bx=P(Ax)=0,因P的列线性无关,得Ax=0;若Ax=0,两端左乘P,得PAx=Bx=0,所以Bx=0与Ax=0同解,=>s—r(B)=s一r(A),=>r(B)=r(A),=>(Ⅱ)线性无关<=>r(B)=s<=>r(A)=s.
解析
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考研数学三
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