2. 考研
  3. 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr，线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj=α1jα1+α2jα2+…+αrjαr(j=1，2．…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(αij)r×s的秩为s．

设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr，线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj=α1jα1+α2jα2+…+αrjαr(j=1，2．…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(αij)r×s的秩为s．

admin2016-03-26  51
问题 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr，线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj=α1jα1+α2jα2+…+αrjαr(j=1，2．…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关<=>矩阵A=(αij)r×s的秩为s．
选项
答案不妨设αi(i=1，…，r)及βj(j=1，…，s)均为n维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式： [β1 β2 … βr]=[α1 α2 … αr]A，或B=PA，其中B=[β1 β2 … βr]为n×s矩阵，P= [α1 α2 … αr]为n×r矩阵，且P的列线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解：若Bx=P(Ax)=0，因P的列线性无关，得Ax=0；若Ax=0，两端左乘P，得PAx=Bx=0，所以Bx=0与Ax=0同解，=>s—r(B)=s一r(A)，=>r(B)=r(A)，=>(Ⅱ)线性无关<=>r(B)=s<=>r(A)=s．
解析
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考研数学三

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