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设椭圆C1:=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2. 设A(0,b),Q(3√3,b),又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B(0,b),且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.
设椭圆C1:=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2. 设A(0,b),Q(3√3,b),又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B(0,b),且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.
admin
2019-06-01
24
问题
设椭圆C
1
:
=1(a>b>0),抛物线C
2
:x
2
+by=b
2
.
设A(0,b),Q(3√3,
b),又M、N为C
1
与C
2
不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B(0,
b),且△QMN的重心在C
2
上,求椭圆C
1
和抛物线C
2
的方程.
选项
答案
由题设可知M,N,关于y轴对称,设M(-x
1
,y
1
),N(x
1
,y
1
),(x
1
>0), 则由△AMN,的垂心为B,有[*]=0,所以-x
1
2
+(y
1
-[*]b)(y
1
-b)=0①,由于点N(x
1
,y
1
)在C
2
上,故有x
1
2
+by
1
=b
2
②, 由①②得y
1
=-[*]或y
1
=b(舍去), 所以x
1
=[*],故[*],所以△QMN的重心为[*], 因重心在C
2
上得3+[*]=b
2
,所以b=2,M(-√5,-[*]),N(√5,-[*]),又因为M,N,在C
1
上, 所以[*]=1,得a
2
=[*].所以椭圆C
1
的方程为[*]=1,抛物线C
2
的方程为x
2
+2y=4. [*]
解析
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小学数学题库教师公开招聘分类
0
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