2. 考研
  3. 设A是m×n实矩阵，AT是A的转置矩阵，证明方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0是同解方程组．

设A是m×n实矩阵，AT是A的转置矩阵，证明方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0是同解方程组．

admin2016-10-20  76
问题 设A是m×n实矩阵，AT是A的转置矩阵，证明方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0是同解方程组．
选项
答案如果α是(Ⅰ)的解，那么Aα=0，而ATAα=AT0=0，可见α是(Ⅱ)的解． 如果α=(a1，a2，…，an)T是(Ⅱ)的解，即ATAα=0，则αTATAα=0[*](Aα)T(Aα)=0． 不妨设 Aα=(b1，b2，…，bm)T，则 (Aα)T(Aα)=b12+b22+…+bm2=0．从而b1=b2=…=bm=0，即Aα=0，所以(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此，(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解方程组．
解析 所谓方程组同解即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解，显然本题的难点是如何证(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．
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考研数学三

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