2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1，a2x2，a3x3)2+(b1x1，b2x2，b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1，a2x2，a3x3)2+(b1x1，b2x2，b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2015-09-14  58
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1，a2x2，a3x3)2+(b1x1，b2x2，b3x3)2，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
选项
答案记矩阵A=2ααT+ββT。由于α，β正交且为单位向量，即αTα=1，βTβ=1，αTβ=βTα=0，所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2α， Aβ=(2ααT+ββT)β=β， 于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值。又 r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2，所以λ3=0是矩阵A的特征值。由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
解析 本题综合考查向量的内积和正交等概念、二次型的矩阵和在正交变换下的标准形等概念、特征值与特征向量的概念、矩阵的秩的有关性质。本题证明中多次用到了向量内积的。可交换性(对称性)，例如(Ⅰ)中a1x1+a2x2+a3x3既可写成(x1，x2，x3)，也可写成(x1，x2，x3)，即xTα=αTx，从而得(a1x1+a2x2+a3x3)2=xTααx=xT(ααT)x。本题(Ⅱ)中刺用3阶矩阵A的秩小于3从而得到A有特征值0的方法较为简单，另一种方法是：注意也可以将A的行列式写成|A|=|2a1α+b1β2a2α+b2β2a3α+ba3β|，然后利用行列式关于列的可加性，可将A的行列式表成8个行列式之和，但没有必要具体写出，因为其中每一个行列式至少有两列成比例，从而都等于0，于是得A的行列式为零，由此也可得到λ3=0是矩阵A的特征值。
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考研数学三

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