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  3. 用数学归纳法证明命题P(n)对任何自然数正确，一般包括两个步骤；第一，建立基础，例如证明P(1)正确；第二，建立推理关系，例如证明n≥1时，如果命题P(n)正确则可以推断命题P(n+1)也正确。这种推理关系可以简写为：n≥1时P(n)→P(n+1)。　　　

用数学归纳法证明命题P(n)对任何自然数正确，一般包括两个步骤；第一，建立基础，例如证明P(1)正确；第二，建立推理关系，例如证明n≥1时，如果命题P(n)正确则可以推断命题P(n+1)也正确。这种推理关系可以简写为：n≥1时P(n)→P(n+1)。　　　

admin2009-01-12  51
问题 用数学归纳法证明命题P(n)对任何自然数正确，一般包括两个步骤；第一，建立基础，例如证明P(1)正确；第二，建立推理关系，例如证明n≥1时，如果命题P(n)正确则可以推断命题P(n+1)也正确。这种推理关系可以简写为：n≥1时P(n)→P(n+1)。　　　　将上述数学归纳法推广到二维情况。为证明命题P(m,n)对任何自然数m与n正确，先证明P(1,1)正确，再证明推理关系(53)正确。
选项 A、m≥1，n≥1时，P(m,n)→P(m+1,n+1)
B、m≥1，n≥1时，P(m,n)→P(m,n+1)以及P(m+1,n+1)
C、m≥1，n≥1时，P(m,n)→P(m+1,n)以及P(m,n+1)
D、n≥1时，P(1，n)→P(1,n+1)；m≥1,n≥1时，P(m,n)→P(m+1,n+1)
答案C
解析 本题希望启发大家深化对数学归纳法本质的理解，而深化的逻辑思维还会产生推广、创新的意念。
   可以将命题P(m,n)的定义域以二维点阵图来描述。
   (1,1)    (1,2)    (1,3)，  (1,4)，…
   (2,1)    (2,2)    (2,3)，  (2,4)，…
   (3,1)    (3,2)    (3,3)，  (3,4)，…
   每一对自然数(m，n)表示一个点(m表示行号，n表示列号，行数与列数均无限)。
   试题中已经说明，对左上角的点(1,1)已经证明了P(1,1)的正确性，即已经建立了数学归纳的基础，现在来研究分析各选项中的推理关系：从(1,1)点基础能否推导到所有的点(m,n)。
   选项A的推理关系“m≥1,n≥1时，P(m,n)→P(m+1,n+1)”说明从任一点(m,n)出发可以推导到它的右下点(m+1,n+1)。显然，根据(1,1)点基础，以及这样的推理关系，只能推断出该命题对(2,2)，(3,3)，…，(n,n)，…，(在图上呈现为对角线上所有的点)正确。
   选项B的推理关系“m≥1,n≥1时，P(m,n)→P(m,n+1)以及P(m+1,n+1)”说明从任一点(m,n)可以推导到它的右邻居点和右下点。显然，根据(1,1)点的基础，以及这两个推理关系，只能推断出该命题对所有的点(m,n)(m≤n)(在图上呈现为对角线及其上三角所有的点)正确。
   选项C的推理关系“m≥1,n≥1时，P(m,n)→P(m+1,n)以及P(m,n+1)”说明从任何一点可以推导到它的下邻居点和右邻居点。显然，根据(1,1)点的基础，以及前一个推理关系，就能推导到第一列的所有点；再根据后一个推理关系，就能推断出该命题对图上所有的点都正确。
   选项D的推理关系“n≥1时，P(1,n)→P(1,n+1)；m≥1,n≥1时，P(m,n)→P(m+1,n+1)”说明从第一行的任何一点可以推导到它的右邻居点；从图中任何一点可以推导到其右下 点。显然，根据(1,1)点基础，以及前一个推理关系，可以推导到第一行所有的点；再根据后一个推理关系，只能推断出该命题对所有的点(m,n)(m≤n)(在图上呈现为对角线及其上三角所有的点)正确。
   因此，选项C是正确的。
   按同样的思维方式，数学归纳法还可以做更多的推广。
   例1：P(1)正确：n≥1时{P(1),P(2),…,P(n)}→P(n+1)，则n≥1时P(n)正确。
   例2：P(素数)正确：n≥2时P(n)→P(n-1)，则n≥1时P(n)正确。
   例3：P(1),P(2),…,P(2n)正确；m+n为偶数时{P(m),P(n)}→P((m+n)/2)，则n≥1时P(n)正确。
   例4：P(1,1)，P(1,2)正确；{P(m,n),P(m,n+1)}→{P(m,n+2),P(m+1,n)}，则m≥1，n≥1时P(m,n)正确。
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