2. 考研
  3. 设齐次线性方程组(2E－A)x=0有通解x=kξ1=k（－1，1，1）T，k是任意常数，其中A是二次型f(x1，x2，x3)=xTAx对应的矩阵，且r(A)=1． 求方程组Ax=0的通解．

设齐次线性方程组(2E－A)x=0有通解x=kξ1=k（－1，1，1）T，k是任意常数，其中A是二次型f(x1，x2，x3)=xTAx对应的矩阵，且r(A)=1． 求方程组Ax=0的通解．

admin2016-04-29  111
问题 设齐次线性方程组(2E－A)x=0有通解x=kξ1=k（－1，1，1）T，k是任意常数，其中A是二次型f(x1，x2，x3)=xTAx对应的矩阵，且r(A)=1．
求方程组Ax=0的通解．
选项
答案A是二次型的对应矩阵，故AT=A，由(2E－A)x=0有通x=kξ1=k（－1，1，1）T，知A有特征值λ2=2，且A的对应于λ1=2的线性无关的特征向量为 ξ1=（－1，1，1）T． 由于r(A)=1，故知λ=0是A的二重特征值．Ax=0的非零解向量即是A的对应于λ=0的特征向量． 设λ2=λ3=0所对应的特征向量为手ξ=（x1，x2，x3）T，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，故ξ与ξ1相互正交． 由ξ1T=－x1+ x2+ x3=0，解得ξ2=（1，1，0）T，ξ3=（1，0，1）T． 故方程组Ax=0的通解为k2ξ2+ k3ξ3，k2，k3为任意常数
解析
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考研数学三

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