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设齐次线性方程组(2E-A)x=0有通解x=kξ1=k(-1,1,1)T,k是任意常数,其中A是二次型f(x1,x2,x3)=xTAx对应的矩阵,且r(A)=1. 求方程组Ax=0的通解.
设齐次线性方程组(2E-A)x=0有通解x=kξ1=k(-1,1,1)T,k是任意常数,其中A是二次型f(x1,x2,x3)=xTAx对应的矩阵,且r(A)=1. 求方程组Ax=0的通解.
admin
2016-04-29
92
问题
设齐次线性方程组(2E-A)x=0有通解x=kξ
1
=k(-1,1,1)
T
,k是任意常数,其中A是二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax对应的矩阵,且r(A)=1.
求方程组Ax=0的通解.
选项
答案
A是二次型的对应矩阵,故A
T
=A,由(2E-A)x=0有通x=kξ
1
=k(-1,1,1)
T
,知A有特征值λ
2
=2,且A的对应于λ
1
=2的线性无关的特征向量为 ξ
1
=(-1,1,1)
T
. 由于r(A)=1,故知λ=0是A的二重特征值.Ax=0的非零解向量即是A的对应于λ=0的特征向量. 设λ
2
=λ
3
=0所对应的特征向量为手ξ=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,故ξ与ξ
1
相互正交. 由ξ
1
T
=-x
1
+ x
2
+ x
3
=0,解得ξ
2
=(1,1,0)
T
,ξ
3
=(1,0,1)
T
. 故方程组Ax=0的通解为k
2
ξ
2
+ k
3
ξ
3
,k
2
,k
3
为任意常数
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/x1T4777K
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考研数学三
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