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  3. 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解。 (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解。

已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解。 (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解。

admin2015-07-10  137
问题 已知非齐次线性方程组  有3个线性无关的解。
  (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解。
选项
答案(1)设α1，α2，α3是非齐次线性方程组AX=b的3个线性无关的解，那么α1一α2，α1一α3，是Ax=0线性无关的解，所以n—r(A)≥2，即r(A)≤2(n=4)。 显然矩阵A中有2阶子式不为0，则有r(A)≥2，从而秩r(A)=2。 (2)对增广矩阵作初等行变换，有[*] 由[*]知a=2，b=一3．又a=(2，一3，0，0)T是Ax=b的解，且η1=(一2，1，1，0)T，η2=(4，一5，0，1)T是Ax=0的基础解系。 所以方程组的通解为α+k1η1+k2η2(k1，k2为任意常数)
解析
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