微分方程满足y(0)=一1的特解是___________.

admin2014-02-06 53

问题微分方程

满足y(0)=一1的特解是___________.

选项

答案y=一In(1+e—e^x)．

解析【分析一】这是可分离变量的方程，分离变量得e^-ydy=e^xdx，积分得一e^-y：e^x+C，即e^x+e^-y=C．于是得通解e^x+e^-y=C，C为正常数．由初条件y(0)=一1可确定C=1+e．代入后即可解出所求特解为y=一In(1+e—e^x)．
【分析二】原方程可改

令u=x+y，则有

即

积分得

从而得通解x+ln[1+e^-(x+y)]=C．由初条件y(0)=一1可确定常数C=In(1+e)，代入即知特解满足x+In[1+e^-(x+y)]=ln(1+e)，即e^x[1+e^-(x+y)]=1+e，化简即得e^x+e^-y=1+e，解H{得特解为y=一ln(1+e—e^x)．

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