已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX=0，则有( )。

admin2018-11-30 5

问题已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有X^TAX=0，则有( )。

选项 A、｜A｜＞0
B、｜A｜=0
C、｜A｜＜0
D、以上三种都有可能

答案B

解析由于对任一n维列向量X，均有X^TAX=0，两边转置，有X^TA^TX=0，从而X^T(A+A^T)X=0。显然有(A+A^T)^T=A+A^T，即A+A^T为对称矩阵。从而对任一n维列向量X，均有：X^T(A+A^T)X=0，且A+A^T为实对称矩阵，从而有A+A^T=0。即A^T=–A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故｜A｜=0。

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