若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的,且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0),k=0,1,2,…,n一1.又x>x0时,φ(n)(x)>ψ(k)(x0).试证:当x>x0时,φ(x)>ψ(x).

admin2015-07-22  69

问题 若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的,且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0),k=0,1,2,…,n一1.又x>x0时,φ(n)(x)>ψ(k)(x0).试证:当x>x0时,φ(x)>ψ(x).

选项

答案令u(n-1)(x)=φ(n-1)(x)一ψ(n-1)(x). 在[x0,x]上用微分中值定理得 u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)=u(n)(ξ).(x—x0),x<ξ<x. 又由u(n)(ξ)>0可知u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)>0,且u(n-1)(x0)=0,所以u(n-1)(x)>0,即当x>x0时,φ(n-1)(x)>ψ(n-1)(x). 同理u(n-2)(x)=φ(n-2)(x)一ψu(n-2)(x)>0. 归纳有u(n-3)(x)>0,…,u’(x)>0,u(x)>0.于是,当x>x0时,φ(x)>ψ(x).

解析
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