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若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的,且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0),k=0,1,2,…,n一1.又x>x0时,φ(n)(x)>ψ(k)(x0).试证:当x>x0时,φ(x)>ψ(x).
若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的,且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0),k=0,1,2,…,n一1.又x>x0时,φ(n)(x)>ψ(k)(x0).试证:当x>x0时,φ(x)>ψ(x).
admin
2015-07-22
69
问题
若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的,且φ
(k)
(x
0
)=ψ
(k)
(x
0
),k=0,1,2,…,n一1.又x>x
0
时,φ
(n)
(x)>ψ
(k)
(x
0
).试证:当x>x
0
时,φ(x)>ψ(x).
选项
答案
令u
(n-1)
(x)=φ
(n-1)
(x)一ψ
(n-1)
(x). 在[x
0
,x]上用微分中值定理得 u
(n-1)
(x)一u
(n-1)
(x
0
)=u
(n)
(ξ).(x—x
0
),x<ξ<x. 又由u
(n)
(ξ)>0可知u
(n-1)
(x)一u
(n-1)
(x
0
)>0,且u
(n-1)
(x
0
)=0,所以u
(n-1)
(x)>0,即当x>x
0
时,φ
(n-1)
(x)>ψ
(n-1)
(x). 同理u
(n-2)
(x)=φ
(n-2)
(x)一ψu
(n-2)
(x)>0. 归纳有u
(n-3)
(x)>0,…,u’(x)>0,u(x)>0.于是,当x>x
0
时,φ(x)>ψ(x).
解析
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考研数学三
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