利用球坐标计算下列三重积分: zdxdydz,Ω由曲面x2+y2+(z-a)2≤a2与x2+y2≤z2所确定.

admin2023-03-22  31

问题 利用球坐标计算下列三重积分:
zdxdydz,Ω由曲面x2+y2+(z-a)2≤a2与x2+y2≤z2所确定.

选项

答案在球坐标系里Ω的上边界直角坐标方程为x2+y2+z2=2az,其球坐标系下球面方程为r=2acosφ,下边界曲面方程为φ=π/4,由此可知Ω可以表示为0≤r≤2acosφ,0≤φ≤π/4,0≤θ≤2π, [*]zdxdydz=∫0dθ∫0π/4sinφcosφdφ∫02acosφr3dr =2π·4a40π/4sinφcos5φdφ=8πa4(-∫0π/4cos5φdcosφ) [*]

解析
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