2. 考研
  3. 设A=E一ααT，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

设A=E一ααT，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

admin2015-07-10  36
问题 设A=E一ααT，其中α为n维非零列向量．证明：
(1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量；
(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
选项
答案(1)令αTα=k，则A2=(E一ααT)(E一ααT)=E一2ααT+kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要条件是k=1，而αTα=｜α｜T，所以A2=A 的充要条件是α为单位向量． (2)当α是单位向量时，由A2=A得r(A)+r(E-A)=n，因为E—A=ααT≠0，所以r(E一A)≥1，于是r(A)≤n一1＜n，故A是不可逆矩阵．
解析
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考研数学三

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