设A=E一ααT，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

admin2015-07-10 87

问题设A=E一αα^T，其中α为n维非零列向量．证明：
(1)A²=A的充分必要条件是α为单位向量；
(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

选项

答案(1)令α^Tα=k，则A²=(E一αα^T)(E一αα^T)=E一2αα^T+kαα^T，因为α为非零向量，所以αα^T≠O，于是A²=A的充分必要条件是k=1，而α^Tα=｜α｜^T，所以A²=A 的充要条件是α为单位向量． (2)当α是单位向量时，由A²=A得r(A)+r(E-A)=n，因为E—A=αα^T≠0，所以r(E一A)≥1，于是r(A)≤n一1＜n，故A是不可逆矩阵．

解析

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考研数学三

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