设f具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分： z=f(x2+y2，eycosx)，求

admin2019-02-20 25

问题设f具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分：
z=f(x²+y²，e^ycosx)，求

选项

答案利用一阶全微分形式不变性与全微分的四则运算法则可得 [*] dz=f’₁d(x²+y²)+f’₂d(e^ycosx) =(2xdx+2ydy)f’₁+(－e^ysinxdx+e^ycosxdy)f’₂ =(2x’₁－e^ysinxf’₂)dx+(2yf’₁+e^ycosxf’₂)dy， [*] z’_x=2xf’₁－e^ysinxf’₂，z’_y=2yf’₁+e^ycosxf’₂．从而 [*]=z"_xy=(z’_x)’₁=(2xf’₁－e^ysinxf’₂)’_y=2x(f’₁)’_y－e^ysinxf’₂－e^ysinx(f’₂)’_y =2x(2yf"₁₁+e^ycosxf"₁₂)－e^ysinxf’₂－e^ysinx(2yf"₂₁+e^ycosxf"₂₂) =4xyf"₁₁+2e^y(xcosx－ysinx)f"₁₂－e^2ysinxcosxf"₂₂－e^ysinxf’₂．

解析

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